PARADOXES

Prenons un carré de 8 sur 8, donc de surface 64. Nous le découpons en 4 comme indiqué sur la figure et nous rassemblons les morceaux différement. Nous obtenons alors un rectangle de 13 sur 5, donc de surface 65.

D'où vient cette différence de surface ?

Cette fois, nous partons d'un carré de 12 sur 12, que nous découpons en 5 morceaux. Ces 5 morceaux une fois réassemblés, nous obtenons le même carré de 12 sur 12, mais un trou est apparu.

D'où vient-il ?

Considérons sur la figure de droite deux points A et B quelconques, et un point B' à même distance de A que B (donc AB=AB').

Nous traçons la médiatrice des segments AB et AB'; ces deux médiatrices se coupent en M.

Nous avons donc AM=BM puisque M est sur la médiatrice de AB et AM=B'M puisque M est sur la médiatrice de AB'.

Donc, puisque AB=AB', BM=B'M, les deux triangles AMB et AMB' sont identiques; pourquoi ne se superposent-ils pas ?

Considérons un segment AB de longueur 1. Nous définissons la courbe Cn de la manière suivante :

Nous découpons le segment AB en n sous-segments de longueur 1/n et nous relions les extrémités de ces sous-segments par des arcs de cercle dont ces sous-segments constituent le diamètre, ces arcs de cercle étant orientés alternativement d'un côté et de l'autre du segment AB. La figure de droite montre quelques exemples de courbes Cn.

A l'évidence, lorsque n tend vers l'infini, les courbes Cn convergent vers le segment AB. Donc la longueur de ces courbes tend vers la longueur de AB, soit 1.

Il est facile de calculer la longueur de Cn : chaque arc de cercle a un diamètre de 1/n, donc la longueur de l'arc de cercle vaut PI/2n; donc, la longueur de la courbe Cn vaut n fois cette valeur, soit PI/2.

Donc, PI/2 tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini. Où est l'erreur ?